这几天正在复习算法，今天在看一篇文章时偶然看到这个题目，想了一下居然没什么思路……（抱歉，实在太菜。)，文章中提示了一个关键词：Fibonacci 数列。然后我又小百度了一下，找了一个具体分析实例，结合两处，这才理清了思路。（汗啊……基础全忘光了，这以后咋办啊……深感担忧……)
问题描述
一只青蛙一次可以跳上 1 级台阶，也可以跳上 2 级台阶，请问这只青蛙跳上 n 级的台阶总共有多少种跳法？
问题分析
设青蛙跳上 n 级台阶的跳法为 f(n) 种。
设 Fibonacci 数列的第 x 项值为 fibo(x)。
- 当 n=1 时，f(n)=1=fibo(2)
- 当 n=2 时，f(n)=2=fibo(3)
- 当 n>2 时，分析可知，在跳上第 n 级台阶前一步，必然是在第 (n-1) 或 (n-2) 级台阶，故有 f(n) = f(n-1) + f(n-2); 依此类推……
则有：
f(n)
= f(n-1) + f(n-2)
= 2f(n-2) + f(n-3)
= 3f(n-3) + 2f(n-4)
= 5 f(n-4) + 3f(n-5)
= 8f(n-5) + 5f(n-6)
= …
= fibo(x+1)f(n-x)+fibo(x)f(n-(x+1))
=…
= fibo(n-1)f(n-(n-2)) + fibo(n-2)f(n-(n-1))
= fibo(n-1)f(2) + fibo(n-2)f(1)
f(n) 的规律符合 Fibonacci 数列的规律，它与 Fibonacci 的区别是 Fibonacci 的前两个元素是 1，1，而 f(n) 的规律是 1，2，即可知有 f(n)=fibo(n+1)。
简单的 C++ 实现
#include <iostream>
using namespace std;
// 非递归写法
int fibo(int n) // 获取 Fibonacci 数列的第 N 项值
{
if(n == 1 || n == 2)
return 1;
else
{
int a = 1;
int b = 1;
int tmp;
for(int i = 3; i <= n; ++ i)
{
tmp = a;
a = b;
b += tmp;
}
return b;
}
}
//// 递归写法
//int fibo(int n)
//{
// if(n == 1 || n == 2)
// return 1;
// else
// return fibo(n-1) + fibo(n-2);
//}
int main()
{
cout << "请输入楼梯的级数：";
int n;
cin >> n;
int sum;
//if(1==n)
// sum = 1;
//else if (2==n)
// sum = 2;
//else
//{
// sum = 2 * fibo(n-1) + fibo(n-2);
//}
sum = fibo(n+1);
cout << "共有 " << sum << " 种跳法。" << endl;
return 0;
}
文档信息
- 版权声明：自由转载-非商用-非衍生-保持署名（创意共享3.0许可证）
- 本文链接：青蛙跳台阶的问题——Fibonacci
- 本文作者：Zhuang Ma